問69

方程式の実数解
<コメント>受験シーズンがじわじわ近づいてきたので、少し意識した証明問題です。中学校や高校の比較的簡単な数学の知識だけでも解けますよ。

問69

答えが分かったら、下のコメント欄から解答↓↓↓
<正解者> shah-san、sakkyun、つー、くわがたお、いわちょ、NaOH、M.R、coldia、たけちゃん (敬称略)

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なんとかできた気がします

初コメントいたします

方程式は
x{x^4(x^2+1)(x^3-2x^2+3x-2)+2x-2}=-4
となる。解のうちひとつが
x<0のとき左辺は正となり不適
x>1のときも左辺は正となり不適
x=0,1では左辺は0になり不適
よって解が存在するとすればすべて0<x<1となるが方程式の定数項が整数なのでこれも不適
よって実数解は存在しない。

これであってるでしょうか?
雑な証明ですみません。

sakkyunさん

解答ありがとうございます♪ただsakkyunさんの求めた左辺を展開すると、x^10-2x^9+4x^8-4x^7+3x^6-2x^5+2x^2-2xになり、もとの式と一致しません。記入ミスでしょうか?

当初予定していた解き方とは違いますが、sakkyunさんのような式変形でも証明できそうな気がしますので、ぜひ再解答してくださいね☆

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shah-sanさん

> こんにちは

こんにちは☆すばらしい、正解です♪

まとめ方次第ではたどり着けないかもと思い、余裕を持って-4にしたのですが、-1でも充分でしたか!これはすごいです!

すみません 訂正です

先程回答させていただいた者です。
式変形のところで正しくは
x{x^2(x^4+1)(x^3-2x^2+3x-2)+2x-2}=-4
でした。x^2とx^4が逆でした。
逆になっても正負は変化しないので解答方針に影響は無さそうです。

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sakkyunさん

なるほど、これならOKです!再解答ありがとうございました☆正解者リストにお名前を加えさせていただきました♪

ただ0<x<1の部分の証明が不十分な気もしますね。方程式の定数項が整数でも、分数の解は存在すると思いますので
。例えば今回と少し似た形でシンプルなものとして、二次方程式x(x-3)=-1の実数解は解の公式より0<x<1の分数になります。

つーさん

> 初コメントです。

解答ありがとうございました☆正解です!お名前を正解者リストに加えさせていただきました♪

他の方とは違って、おもしろい式変形ですね!すばらしい解答です☆問題の右辺は-1でも充分でしたね(笑)

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くわがたおさん

> mm2445さん、おはようございます!!^^
>
> ※ダメもとで書いてみます。^^;

くわがたおさん、おはようございます♪

証明不十分ですが、左辺の最小値がその辺りになり右辺より明らかに大きいということですね。おまけで正解にしますね☆この問題は中学生までの知識で、解くことができますよ!

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いわちょさん

> 実際左辺をグラフに描かせてみると、x≒0.644で最小値約-0.656になるので、うまく変形すればさらにもう少し詰められるかもしれません


正解です♪-4はちょっと問題に余裕を持たせすぎましたね。もう少し詰めるためには、分数とか出てきて大変な計算になるかもしれませんね!

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NaOHさん

> いかがでしょう。。?


正解です♪まとめかたは解答者によって違うので、おもしろいですね☆出題した後に、-4はちょっと余裕持たせすぎて失敗した問題です!

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M.Rさん

> 解答(今回発想までが大変でした…)


いいですね、正解です!問題の-4はちょっと余裕持たせすぎてしまいました。ほとんどの解答者の方が-1になっていましたし。

発想重視の問題を作るのが好きなので、気がつくまでに悩んでもらえるとうれしいですね♪

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coldiaさん

> 平方完成をたくさんしたら解けました。
>
> x^10-2x^9+3x^8-2x^7+x^6-2x^5+3x^4-2x^3+2x^2-2x+4
> =(x^10-2x^9+x^8)+(2x^8-2x^7+1/2*x^6)+(1/2*x^6-2x^5+2x^4)+(x^4-2x^3+x^2)+(x^2-2x+1)+3
> =x^8(x-1)^2+2x^6(x-1/2)^2+1/2*x^4(x-2)^2+x^2(x-1)^2+(x-1)^2+3
> >3
> となり、必ず3より大きくなります(3はとれない)。なので0にはなりません。
>
> 3がとれないのは「x=1かつ(x=0または(x=1/2かつx=2))」でないと2乗部分が0になりませんがこれは両立しないからですね。


正解です♪平方完成の仕方も、人それぞれでちょっと興味深いです☆

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