問28の答え

ヒント:効率よくひたすら数えるしかありません。

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解答と解説は下にあります↓↓↓







※ こちらは問題の解答のみです。注意してください。問題は別の場所に掲載してあります。

解28
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No title

問題の方にcoldiaさんのコメントがあり,
もしかすると,問題文は当初とは変わっているのかもしれませんが,
現状の問題文に対して,この解答は正しくないように思います.
(というか,この解答が正しくなるように自然な条件設定をするのは,
「2人目の子」のままだと難しいかもしれません.
多分,次のように「1人目の子」にする方が自然です.
[例] ある夫婦は,その血液型から「A型の子が生まれる可能性がある」ことが
分かっている.このとき,第1子が実際にA型である確率を求めよ.
)

「2人目がA型である確率」なので,
「A型の子が生まれた」は1人目がA型であることを意味するでしょうから,
例えば両親がAA-AAであることは,AO-BOであることよりも確からしいはずです.
(なお,「A型の子が生まれたことがある」であれば,
次の子がA型である確率は,子の人数によって変化し,
例えば100人目なら,『99人の子の中にA型あり』が条件となり,
これは,「A型の子が生まれ得る」限り1に近い確率なので,
現状の解答の確率に近づくはずです.)

coldiaさんが(さらにはdyneさんも)すでに提示されている可能性が高そうですが,
現状の問題文に対する正しい答えと思うものを提示します.
条件付き確率がそうなる理由を明確に示すことを目標として書きました.
ただし,途中の確率は,計算が楽なように,わざと約分しないままにしてあります.

No title

両親の血液型はxy-zw(x,y,z,wはそれぞれ,A,Bのいずれか)の81通りがあり,
「1人目がA型」などの事前情報がなければすべて同様に確からしい.

このうち,
(i)親の一方がBB型(17通り)または両親ともOO,OB,BO型(9通り)のとき(確率26/81)
特定の1人の子がA型である確率(以下,単に「A型確率」という)は0.

(ii)親の一方がOBまたはBO型でもう一方がOA,AO,AB,BA型(16通り),
または両親ともAB,BA型(4通り)のとき(確率20/81)
A型確率は1/4であり,1人目がA型かつ2人目がA型である確率は1/16.

(iii)親の一方がOAまたはAO型で,もう一方がAB,BA型(8通り),
または,親の一方がOO型で,もう一方がOA,AO,AB,BA型(8通り),
または,親の一方がAA型で,もう一方がOB,BO,AB,BA型(8通り)のとき(確率24/81)
A型確率は2/4であり,1人目がA型かつ2人目がA型である確率は4/16.

(iv)両親ともOAまたはAO型のとき(4通り,確率4/81)
A型確率は3/4であり,1人目がA型かつ2人目がA型である確率は9/16.

(v)親の一方がAA型で,もう一方がOO,OA,AO,AA型のとき(7通り,確率7/81)
A型確率は4/4であり,1人目がA型かつ2人目がA型である確率は16/16.

よって,1人目がA型である確率は
(20/81)*(1/4)+(24/81)*(2/4)+(4/81)*(3/4)+(7/81)*(4/4)
=(20+48+12+28)/(81*4)=1/3.
(考えてみれば,これは当然ですね.
OO,OA,AO,AA,OB,BO,AB,BA,BBが等確率で起こります.)
また,1人目,2人目がともにA型である確率は
(20/81)*(1/4)^2+(24/81)*(2/4)^2+(4/81)*(3/4)^2+(7/81)*(4/4)^2
=(20+96+36+112)/(81*4^2)=11/54.
したがって,求める条件付き確率は,(11/54)/(1/3)=11/18.

No title

ついでに,人数が増えたときの変化の例として,3人目について考えると,
3人続けてA型である確率は
(20/81)*(1/4)^3+(24/81)*(2/4)^3+(4/81)*(3/4)^3+(7/81)*(4/4)^3
=(20+192+108+448)/(81*4^3)=4/27だから,
2人続けてA型であったという条件下で,3人目がまたA型となる確率は
(4/27)/(11/54)=8/11.
2人中少なくとも1人がA型である確率は
(20/81)*(7/16)+(24/81)*(12/16)+(4/81)*(15/16)+(7/81)*(16/16)=25/54で,
その内3人目がA型である確率は
(20/81)*(7/16)*(1/4)+(24/81)*(12/16)*(2/4)
+(4/81)*(15/16)*(3/4)+(7/81)*(16/16)*(4/4)=7/27だから,
2人の子がいて,その内少なくとも1人がA型という条件下で,3人目がA型の確率は
(7/27)/(25/54)=14/25.

人数が増えていくと,「ずっとA型ばかりであったとき,次もA型の確率」は増加し,
「少なくとも1人A型であるとき,次がA型の確率」減少します.
私の計算では,この後者の確率は,9人目については72233/144463で,
10人目になると1162221/2335328で,はじめて1/2より小さくなります.
この10人目のケースでは,前者の確率は316701/321008で,98.658%と,
かなり確実に10人目もA型となります.
9人続けてA型となったならば,(v)である可能性が高いからですね.

たけちゃんさん

ご指摘ありがとうございます!時間が取れなかったこともあり、まだ修正できていませんでした。今度こそ後で時間があるときに、問題文を変えておこうと思います☆

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自作問題を作ることが趣味。
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