問65

余りを求める問題
<コメント>また内容がシンプルな問題です。1517年に高校入試や大学入試があったら、出題されていたかもしれません(笑)

問65

答えが分かったら、下のコメント欄から解答↓↓↓
<正解者> shah-san、M.R、いわちょ、くわがたお、スモークマン、coldia (敬称略)

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shah-sanさん

> こんにちは
>
> 力技と言うか、何と言うかで、答えが見つかっちゃいました。電卓、フル回転です。 ww

こんにちは☆かなり早いですね!正解です!検算もしっかりありがとうございます♪予定していた解き方とは違いますが、たしかにこの問題はshah-sanさんのように、力技で見つける方が近道かもしれませんね。

ちなみに今回の場合、余りに周期性があるはずです☆10^41≡10^101 mod 1517だけでなく、10^71なども同じになるはずです♪

No title

mm2445さん、おはようございます!!^^

対数を使いますか?^^;だったら解けないと思うのですが^^;、冥土の土産に教えていただけると幸いですぅっ!!m(__;m

くわがたおさん

くわがたおさん、おはようございます!対数は使わないですよ♪

ヒントは2つの数字の倍数判定法を使います☆ただし1つは掲載されていますが、もう1つは自力で見つけるしかありません!

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くわがたおさん

> mm2445さん、おはようございます!!^^

くわがたおさん、おはようございます♪残念ながら不正解ですね。

ただn=11,13,15,17はたしかに全部余り10になりますね♪これはおもしろいです!何か理由があるのか、偶然なのか、もうちょっと考えてみたいです♪ちなみにn=3,7,9は全部余り1だったので、これも合わせるとやはり何かありそうな予感がします!

多分今回の問題はn=1から傾向を探しても解けないと思います。いろいろ突破口はあるかもしれませんが、1517の倍数で10^1517に最も近い数字を見つけることができれば、余りが分かりますね☆(ヒントにならないかもしれません)

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M.Rさん

> 最初の方のn乗を根性で計算してるので力技ですよね…


正解です!実は1517=37x41なので、それぞれの倍数を考えるとあっさり解けますよ♪999が37で割り切れて、99999が41で割り切れるので、9が15n個のとき割り切れます。よって10^15nを1517で割ると1余ります、といったかんじですね☆

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いわちょさん

きれいな解答をありがとうございます☆正解です!

くわがたおさん

> mm2445さん、こんばんは!!^^
>
> 101ではないかと^^;
>
> ※理由:10^1515÷1517の余りが1で、10^1517はそれより100でかいだけだから。
>
> ※M.Rさんへのコメ返を読ませていただきました。^^;
>
> ※41の倍数は、「一の位から順に5桁ずつに分けて足した数が41の倍数 = 41の倍数」なのかなあ?(質問ではありません。^^;)
>
> ※10^10だけでも私の電卓はE(エラー?)表示になるので、ビビってしまいます。^^;恥ずかしいのですが9,999,999,999+1という発想が全く思いつかなかったです。なので、おもしろかったです。^^合っていればいいなあ。m(__;m


くわがたおさん、こんばんは!解き方も正解で、答えもほぼ正解なのですが、微妙に答えが違いますね(笑)迷いましたが、41の倍数の見分け方もさらに見つけたことも含めて、オマケの正解にしますね☆

参考:10^1517÷1517=100×10^1515÷1517で10^1515÷1517の余りが1なら、100×(余り1)=余り(100×1)=余り100です☆ほとんど答えになってしまいました(笑)

10桁以上になると、電卓も限度を越えてしまったのかもしれませんね。「一の位から順に5桁ずつに分けて足した数が41の倍数 = 41の倍数」で合っていますよ!くわがたおさんのように41の倍数の見分け方を見つけて、既存の37の倍数と合わせて解くという流れを考えていました♪

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スモークマンさん

> …?…^^


答えは正解です☆しかしどうやって解いたのかよく分かりませんでした。10^1517は(10*10^36)*(10*10^40)ではないですし。もし良かったら、教えてもらえませんか。もしかしたら斬新な別解かもしれません!

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スモークマンさん

> たしか…
> 以下のように考えたと…
>
> ^^


10^1517≠10^37*10^41ですよ。具体的には10^2*10^3=100000=10^5であって2*3=6ですが、10^2*10^3≠10^6ではないですよね。

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coldiaさん

> 1517=37*41と因数分解できるとyahoo知恵袋に書いてあったので
> 10^1517を37で割った余りと41で割った余りを考えます。
>
> ・37で割った余りについて
> 37*27=999なので、999は37の倍数で
> 10^1517
> =10^2*10^1515
> =10^2*1000^505
> =10^2*(999+1)^505
> =999N+100 (二項定理で展開してます)
> =37N'+26
> となるので10^1517を37で割った余りは26です。
>
> ・41で割った余りについて
> 41*244=10004なので
> 10^1517
> =10*10^1516
> =10*10000^379
> =10*(10004-4)^379
> =10004M+10*(-4)^379
> ここで、41*6=246であることを使うと
> =10004M+10*(-4)^3*(-4)^376
> =10004M+10*(-4)^3*256^94
> =10004M+10*(-4)^3*(246+10)^94
> =10004M+246M'+10^95*(-4)^3
> =10004M+246M'+(-4)^3*10^3*10^92
> =10004M+246M'+(-4)^3*10^3*(10004-4)^23
> =10004M''+246M'+(-4)^26*10^3
> =10004M''+246M'+(-4)^2*10^3*(246+10)^6
> =10004M''+246M'''+(-4)^2*10^9
> =10004M''+246M'''+(-4)^2*10*(10004-4)^2
> =10004M''''+246M'''+(-4)^4*10
> =10004M'''+246M'''+(246+10)*10
> =41m+100
> =41m'+18
> となるので10^1517を41で割った余りは18です。
>
> よって、
> 10^1517=37a+26
> 10^1517=41b+18
> を1次不定方程式として解きます。10^1517を消して
> 37a-41b=-8
> a=2, b=2が解であることが(41-37=4とかに着目すれば)容易に求められて
> 37*2-41*2=-8
> 両辺を引き算して
> 37(a-2)=41(b-2)
> 両辺の因数が一致すべきことと37,41が互いに素であることから
> a-2=41k
> とおけて、その結果b-2=37kとなります。
> すなわちa=41k+2, b=37k+2
> これを戻すと
> 10^1517
> =37(41k+2)+26
> =1517k+100
>
> 以上より10^1517を1517で割った余りは100です。綺麗ですね!
> どうでしょうか。


知恵袋にあるとは(笑)変わった質問をする方もいるんですね!正解です☆

ちなみに37と同じように、41は99999=41×2439になります。ただ1517を素因数分解したり、999や99999を見つけるというのもちょっとひどい話でしたね。

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