問60

たった1人のせいでみんな迷惑することが分かる問題
<コメント>最初の1人が自分勝手な行動をすると、どうなるか計算してみましょう。はたして最後の人は、自分の席に座れるのだろうか?

問60

答えが分かったら、下のコメント欄から解答↓↓↓
<正解者> shah-san、Wilsonic、いわちょ、くわがたお、coldia (敬称略)

問題の一覧↓
問題のまとめと難易度
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フェアリーグランマさん

おはようございます!問題を考えてもらえてうれしいです♪

まずnではなく、2人や3人のように具体的な数字で求めてみるといいかもしれませんよ☆

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shah-sanさん

> こんにちは

こんにちは!すばらしい、正解です☆この問題一人目の正解者ですね♪丁寧なn=4までの計算をありがとうございます!

人数が多くなっても、最後の人は結局自分の席に座れる確率は低いですね☆

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Wilsonicさん

>   よって、求める確率は、 { 2^(n-2) -1} / { 2^(n-1) - 1} である。
> -------------------------------------
>
> 答え自体は、具体的な例を挙げながらやっていったら
> できたんですが、答えを書くときどうしようかと、すごく
> 難儀しました(^_^;)

n→∞のときの極限値は正解ですが、確率を求めるnの式が違いますね。具体的に3人(n=3)で考えると、1人目が2に座り2人目が1に座るしかないので1/2×1/2=1/4ですが、Wilsonicさんの式だと1/3になってしまいますね。おそらく2^(n-1) -1通りや2^(n-2) -1通りのそれぞれ1つ1つの確率が違うためではないでしょうか。

最終的な答えが正しかったのでオマケで正解にしますね♪もしnの式も分かったら、ぜひ解答してください!

No title

あら、違っていましたか。nの式の方は時間ができたら再挑戦させていただきます。

No title

https://nikkeibook.com/science/page/magazine/alice/201012/question.html
こちらの問題に似ていますね…
解いてもいないのにこんなことだけ言って失礼しました

M.Rさん

よくご存知ですね♪M.Rさんが見つけたサイトにもある問題は、以前友達から出題されて知っていたのですが、一部では有名問題となっているようです。答えは1000人でなくても、何人でも1/2です。たしかにその問題を参考にして作ったのですが、mm2445の問題は「1番目の人が、1番以外の場所に座った」という部分が違います。この場合、例えば合計2人だった場合、2人目の確率は0になります。答えがnの式で表すことができるという、高校数学らしい問題ですよ☆

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くわがたおさん

> mm2445さん、おはようございます!!^^


くわがたおさん、おはようございます♪

残念ながら違いますね。0、1/4までは合っていますよ!2/9以降が違いました。たしかに確率は減っていきますが、実は0にはならないんですよ☆

おしいのでぜひ答えが分かったら、再挑戦してみてくださいね!

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いわちょさん

> 他の方も指摘されていますが、1番の人が完全にランダムに席を選ぶ場合は有名なクイズになってますね


正解です☆たしかにランダムに席を選ぶ有名問題を参考に、ちょっと変えて出題しました!この場合はnの式になって、高校数学っぽい雰囲気が出ますよね♪

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くわがたおさん

> mm2445さん、おはようございます!!^^
>
> ※数列1,3,7,15、・・・の一般項は、ネットにてカンニングを行うことにより求めました。^^;


くわがたおさん、おはようございます☆最終的に向かう確率は合っていましたよ!ただnの式がまだ違いますね。最終的な確率が合っていたので、おまけで正解にしておきますね♪

n=2は0で、n=3は前回の1/4で合っていました!あとはn=4以降です。

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くわがたおさん

> mm2445さん、こんにちは!!^^
>
> 私の考えは、次のとおりです。
>
> n=3のときの確率は1/4でなく、1/3ではないかと。^^;
>
> 理由:次のとおりです。(見づらいかも知れませんが)
>
> 座席番号ー>1 2 3
> 人の番号ー>2 1 3 場合の数?1個目
>         3 1 2 場合の数?2個目
>         3 2 1 場合の数?3個目
>
> 場合の数?3個のうち、3番の人が自分の番号の席に座れるのは1個なので、1/3かと。
>
> 場合の数?4個目は、どのような座り方なのか教えていただけると幸いです。m(__;m


くわがたおさん、こんにちは!

なるほど分かりました!丁寧な説明をありがとうございます☆場合の数と確率でミスをしやすい部分ですね(自分もよくミスしています)。

たしかに全部で3通りなのですが、この3通りはそれぞれ確率が違います。最初の2つは(1/2)×(1/2)=1/4ですが、3つ目は(1/2)×(1)=1/2になります。つまり1人目が2番に座る確率と3番に座る確率は同じなので、どちらも1/2。2番に座った場合は2通りありますが、3番に座った場合は1通りなので、前者はそれぞれ1/4、後者は1/2です。つまり場合の数で全部並べて確率を求めるのは良い方法なのですが、この方法は並べた全ての確率が同じのときにしか使えないのです!

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coldiaさん

> ずっと悩んでたこの問題がやっと解けた気がしたので投稿させてもらいます。
> 僕の考えだとなんとなく条件付き確率の様相を呈していました。
>
> 方針
> 漸化式を立てて解く。
>
> n人で席取りをしたときに、最後の人が自分の席に座る確率をa(n)とします。
> a(2)=0, a(3)=1/4, a(4)=1/3 は調べたので既知とします。
> 調べる過程で、1番目の人の行き先によってその後の人-席の結び方に法則性のようなものが見えてきたのでそれを漸化式にしました。
>
> n人において、
> ●1番目の人が2の席に座ったとき
> この確率は 1/(n-1) ←nで割らないところに条件付き確率感を抱きました
> ・2番目の人が1の席に座ったとき (1/(n-1))、その後3~n番目の人は全員自分の席が空いているので座ることができます。
> ・2番目の人が1の席に座らなかったとき
> 1の席を「2の席」というように名前を付け直すと、2番目の人が「自分の席に座らない迷惑者」の役割を持ち、残ったn-1人で同じ席取りが行われるので、確率はa(n-1)………ではなく
> 1番目の人は問題の設定上1の席に座れないので、既に確率の分母から1-1という組を除いていますが、
> 2番目の人は設定上は「新しい2の席(つまり1の席)」に座れることになっているので、n-1人ではじめるからといって確率が
> 1/(n-2)×…
> ではなく、「新しい2の席」も含めた1/(n-1)×…という計算からどのパターンの確率も始まります。
> 席に座っていく事象は積事象なので、2番目の人が1の席に座らないときの確率はさらに細かな場合分けなどによって
> 1/(n-2)×(sth)+1/(n-2)×(sth)+…+1/(n-2)×(sth)
> となっていて、この頭のn-2を一括でn-1に変える修正を行えば良いので
> このパターンの確率は(n-2)/(n-1)*a(n-1)となります。
> ↑この処理が気付かず&うまく定式化できず値がずれて手こずってました。
>
> この考えは、1番目の人が2以外の席に座る場合にも応用出来て
> ●1番目の人がkの席に座るとき→1/(n-1)
> 2~(k-1)番目の人は自分の席が空いているので確率1で座ることができます。ただしk=2のときは誰も席が自動で決まらなかった状況とします。
> ・k番目の人が1の席に座るとき→1/(n-k+1)
> k+1~n番目の人は自分の席に座れます。
> ・k番目の人が1以外の席に座るとき
> k, k+1, …, n番目の人がn-k+1人で題意と同じような席取りをします。しかし1→1の組が禁止されているのと違ってk→1は許されているので、確率a(n-k+1)の分母を調整しないといけません(条件付き確率を非常に意識しています)。したがって
> (n-k)/(n-k+1)*a(n-k+1)
>
> 求める確率は「1番目の人→kの席」かつ(「k番目の人→1の席」または「k番目の人→1以外の席」)においてk=2,3,…,n-1としたときの総和なので
> a(n)=Σ(k=2 to n-1) 1/(n-1)*{1/(n-k+1)+(n-k)/(n-k+1)*a(n-k+1)}
> ただしn>=3です。
> あとはこの漸化式を解けばオッケー。簡単そうですね。
>
> シグマを展開すると
> a(n)=1/(n-1)*{(1/2*a(2)+1/2)+(2/3*a(3)+1/3)+…((n-2)/(n-1)*a(n-1)+1/(n-1))}
> となるのでとりあえず (n-1)/n*a(n)+1/n = b(n) と置いて見通しよくすると
> n*b(n)-1 = b(2)+b(3)+…+b(n-1)
> という数列になって、右辺が和なので1項あげて引き算すると
> (n+1)*b(n+1)-n*b(n) = b(n)
> →b(n+1) = b(n)
> という定数数列が現れます。n>=3であることに注意して
> b(n)=b(n-1)=…=b(3)=2/3*a(3)+1/3=1/2
> したがってn>=3のときa(n)=(n-2)/2(n-1)
> これはn=2のときにも成り立つので題意を満たすすべてのnに対し
> a(n)=(n-2)/2(n-1)
> が成り立ち、n→∞とするとa(n)→1/2となりました。
>
> ------------------------------------------------------------
>
> もっとも基礎的には確率漸化式は
> a(n)=a(n-1)*(sth)+(1-a(n-1))*(sth)
> という形で表されるので最初はその形を目指したんですけど
> n-1人で席取りして最後の人が座れれば、1人+1席加えたときにもその人は座れるので
> a(n-1)の係数は1であることは分かったんですが(分母の調整とかに気付いたいま、間違っているかもしれない)
> n-1人で最後の人が座れなかった場合に1-a(n-1)をもっと細かく分けなければいけない必要性を感じたことから係数がわからず、大胆に
> a(n)=a(n-1)+(1-a(n-1))*f(n-1)とおいて、手計算で出した確率から関数f(n)を推定したら
> a(n+1)=a(n)+{1-a(n)}/n^2   (n>=2)
> という漸化式が出来上がりこれを解いても同じ解答にたどりつきました。
> 単なる偶然?こっちの考察は非常に穴だらけで発見的ですがこんな漸化式が立つ思考プロセスがあるんでしょうか…


正解です☆漸化式による丁寧な解答をありがとうございます!

最後の式の形を予想してnの式を当てはめる方法がOKなら、かなり途中の計算を省けますね!もしかしたら多くの場合、これで導けるのかもしれませんね。ただ証明するのは難しそうですが。

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mm2445

Author:mm2445
アメリカ在住。日本人。
自作問題を作ることが趣味。
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