問1

図形の面積の問題
<コメント>交点の求め方がポイントです。教科書や参考書にある公式などは調べてもOKです。
問1

<追加コメント>対数の底はeです!

答えが分かったら、下のコメント欄から解答↓↓↓
<正解者> たみひかのろ、いわちょ、shah-san、coldia (敬称略)、他1名

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Re: No title

正解です☆さすがです!

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たみひかのろさん

答えの数字が少しだけ違いますが、多分計算間違いだと思います。解き方は完璧なので正解です!

少し面倒な計算問題になってしまっていてすみませんでした。

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いわちょさん

解答ありがとうございました!正解です☆正解者にお名前を加えておきますね♪

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shah-sanさん

> こんにちは
>
> 時間ができたので、栄えある第1問を見てみようと思いまして。いや~、タイトル通り受験問題らしい問題ですね。
> ただ、交点を求める際、自明でない非線形方程式を解くわけで。2曲線が囲む領域が閉区間[2,4]のみか、区間[2,4]内に新たな交点がないか、といったところは証明しておく必要があるんじゃないかと。
> せっかくの第1問。画龍点睛を欠く、なんてことは残念なので、ちょっと追加してみました(ネイピア数e~2.7・・の知識が必要、かな)。これで、積分の計算問題が、実は証明を要する難題(ひっかけ問題)にグレードアップ。ww
>
> f(x)=xlog2-2logxとする。問題の2曲線の交点のx座標はf(x)=0から目の子でx=2,4であることがわかる。そこで、それ以外の交点があるかどうかを考える。
> 1)f(x)の定義域はx>0(logxの定義域)。
> 2)f(x)は定義域で2階微分可能で、df/dx=log2-2/x, d^2f/dx^2=2/x^2
> 3)f(x)の極値を与えるx座標Xはdf/dx|(x=X)=0からX=2/log2の1つのみ。logの底をeと仮定すると、2/log2=2loge[2] ([2]は底が2であることを表す)。e~2.7・・なので、1<loge[2]<2→2<X=2loge[2]<4。
> 4)定義域x>0上で常にd^2f/dx^2>0。
> 5)f(x)は閉区間[2,4]の端点x=2,4でf(x)=0となる。
> よって、
> 6)f(x)は極値として、定義域x>0上の閉区間[2,4]内のx=X=2/log2に最小値f(X)= Xlog2-2logX<0(*)を1つだけ持つ。
> 以上からf(x)は、定義域x>0上にf(x)=0の解を、x=2,4以外に、持たない。
> *5)と3)からf(X)<f(2),f(4)=0
>
> f(x)=0の解を目の子で見つけるのもダメ、となると、相当難しいです。一応非線形方程式で、少なくとも高校のレベルでは解析的に解けないし。まぁ、目の子で目途はつけられるので、何かの理由をでっち上げればいいわけで。下記の方法は、ぎりぎり高校生、でしょうかね?(数列の収束とか、厳密なところは置いといて ww)
>
> 問題の2曲線を等しいと置いて得られる方程式xlog=2logxを、x=2^pと置いて変形するとp=2^(p-1)>0が得られる。ちょうど逐次代入法を適用するのに都合のいい形式である。数値解析とか逐次代入法とかは、高校の範囲外でしょうねぇ。まぁ、解へ向かって収束する数列を求める、と言い直せば、ぎりぎり高校の範囲でしょうか。
>
> 数列a[n]=2^(a[n-1]-1)を考える([n]は添え字)。初期値をa[0]=0とすると、a[1]=2^(a[0]-1)=2^(-1)=1/2なので、a[0]<a[1]<1(一般的にはa[0]=(logy)/log2 @ y<2の実数であればよいが、簡単のためy=1→a[0]=0とした)。次にa[n-1]<a[n]<1と仮定し、P=a[n+1]-a[n]=2^(a[n]-1)-2[(a[n-1]-1)=2^(-1)×(2^a[n]-2^a[n-1])とすると、a[n-1]<a[n]なのでP>0、つまりa[n]<a[n+1]。またQ=a[n+1]-1=2^(a[n]-1)-1=2^(a[n]-1)-2^0=2^(-1)×(2^a[n]-2^1)とすると、a[n]<1なのでQ<0、つまりa[n+1]<1。よって、a[n-1]<a[n]<1と仮定するとa[n]<a[n+1]<1。以上から帰納法により、数列a[n]=2^(a[n-1]-1)は初期値をa[0]=0とすると、a[0]<a[1]<a[2]<・・・< a[n-1]<a[n]<1、つまりn→∞でa[n]→1へ収束する。よって、元の方程式p=2^(p-1)はp=1を解に持ち、xlog=2logxはx=2^p=2を解に持つ。
> 同様にp=2^(p-1)を変形してp=1+(logp)/log2とする。そして、数列b[n]=1+(logb[n-1])/log2を考える。初期値をb[0]=4とすると、b[1]=1+(logb[0])/log2=3>2となり、b[0]>b[1]>2(一般的にはb[0]=2^y @ y>1の実数であればよいが、簡単のためy=2→b[0]=4とした)。次にb[n-1]>b[n]>2と仮定し、P=b[n+1]-b[n]=(logb[n]-logb[n-1])/log2とすると、b[n-1]>b[n]なのでP<0、つまりb[n]>b[n+1]。またQ=b[n+1]-2=-1+(logb[n])/log2とすると、b[n]>2なのでQ>0、つまりb[n+1]>2。よって、b[n-1]>b[n]>2と仮定するとb[n]>b[n+1]>2。以上から帰納法により、数列b[n]=1+(logb[n-1])/log2は初期値をb[0]=4とすると、b[0]>b[1]>b[2]>・・・>b[n-1]>b[n]>2、つまりn→∞でb[n]→2へ収束する。よって、元の方程式p=1+(logp)/log2→p=2^(p-1)はp=2を解に持ち、xlog=2logxはx=2^p=4を解に持つ。
> これで、x=2とx=4がxlog2=2logxの解であることが示せた。あとは、前半の他に交点がないことの証明と組み合わせれば、問題は区間[2,4]での積分で求められることが示せる。


こんにちは!第1問の丁寧な証明をありがとうございます♪たしかに証明なしでは味気ない問題ですよね。おもしろい追加問題と解答解説なので、コメントをそのまま添付させていただきました☆

前半の解が2つしかない証明ですが、f(x)=xlog2-2logxを微分して増減表を書くことで、極値が1つしかないことから解が最大2つであることを言うだけでも十分かなと思います。

後半は高校までの知識でも分かるしっかりとした説明をありがとうございます!それでも高校生にはちょっと難しそうですね。

初期は受験を目的とした問題を主に作っていたのですが、最近はクイズっぽい問題が増えてきてしまいましたね(笑)受験シーズンも近いので、シーズン中は入試に役立つ問題ももっと作成できたらと思っています☆

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coldiaさん

> となりました。


丁寧な確認や証明もありがとうございます!正解です☆

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mm2445

Author:mm2445
アメリカ在住。日本人。
自作問題を作ることが趣味。
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