問115

3次方程式と解の範囲
<コメント>3次方程式の解の範囲が、全てかなり限定されている問題です。

<追加コメント>先程少しだけ式を変更しました!前の問題だと「解なし」になってしまい期待はずれな答えになってしまうので、期待通りの答えになるように変更しました!すでに「解なし」の答えを送っていただいた方は、解法は全く同じなので正解にします。出題ミスではという、ご指摘ありがとうございます♪

問115

<複素数の復習>複素数の絶対値は、もちろん√(実部²+虚部²)ですね☆もし3+4iなら、|3+4i|=√(3²+4²)=5となります。

答えが分かったら、下のコメント欄から解答↓↓↓
<正解者> coldia、しょー、M.R、NaOH、shah-san、G-PON (敬称略)

問題の一覧↓
問題のまとめと難易度
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問114

ラッキー7の問題
<コメント>7ばかりの問題を作りました。さすがに下7桁は無理そうなので、下2桁です。

問114

<追加コメント>あっさり解かれそうなので、追加で「最大値と最小値のときの7の乗数」も考えてみてください。

答えが分かったら、下のコメント欄から解答↓↓↓
<正解者> izayoi sky、しょー、coldia、NaOH、スモークマン、M.R、shah-san、くわがたお、YE、G-PON、たけちゃん (敬称略)、他1名

問題の一覧↓
問題のまとめと難易度

問113

川渡り食物連鎖問題
<コメント>今月に入ってからそこそこの難問が続いていたので、ここで1回休憩を入れます。狼、羊、キャベツの川渡りの問題は有名ですね。ここでは実際の食物連鎖の例を具体的に調べてから、数字も入れて算数らしくしました。条件が多いだけで、あまり難しくないので気軽に解ける問題ですよ。動植物を数字で表すと答えやすいかもしれません。

問113

答えが分かったら、下のコメント欄から解答↓↓↓
<正解者> coldia、AzTak、くわがたお、shah-san、G-PON (敬称略)

問題の一覧↓
問題のまとめと難易度

問112

1~10で割り切れるのは?
<コメント>1~15の全ての数字で割り切れるnにしようと思いましたが、少し計算が面倒なのでやめました。1~10なので、順番に探すだけでも見つかるかもしれません。もし簡単すぎて物足りない場合は、2つ目以降のnを求めたり、1~15の全ての数字で割り切れるnを探したりしてみてください。コツが分かればどちらも見つけられます。

問112

<追加コメント>倍数判定法を掲載したすぐ後なので、判定法を使って解くのではと勘違いされそうですが、実は全く使いません(笑)

答えが分かったら、下のコメント欄から解答↓↓↓
<正解者> スモークマン、NaOH、coldia、AzTak、しょー、M.R、ゴンとも、shah-san、くわがたお、たけちゃん (敬称略)

問題の一覧↓
問題のまとめと難易度

倍数の見分け方まとめ 51~60の倍数

先月宣言した通り、大きい数字が何の約数を持っているか判定する方法の追加です。今回も知っていても一生使う機会がないであろう、51の倍数から60の倍数の判別法まで掲載しました!結構1つ1つ探すのが大変ですね。どこまで続くか分かりませんが、判定法が見つかる限り掲載していくつもりです☆

<他の数字の見分け方はこちら>
2の倍数〜10の倍数の見分け方へ ⇒2~10の倍数
11の倍数〜20の倍数の見分け方へ ⇒11~20の倍数
21の倍数〜30の倍数の見分け方へ ⇒21~30の倍数
31の倍数〜40の倍数の見分け方へ ⇒31~40の倍数
41の倍数〜50の倍数の見分け方へ ⇒41~50の倍数
61の倍数〜70の倍数の見分け方へ ⇒61~70の倍数
71の倍数〜80の倍数の見分け方へ ⇒71~80の倍数
81の倍数〜90の倍数の見分け方へ ⇒81~90の倍数
91の倍数〜100の倍数の見分け方へ ⇒91~100の倍数

最後に倍数に関する練習問題もあります↓↓↓


<51の倍数>
「一の位から順に2桁ずつに分けて符号を交互に並べ、小さい位から順に2のべき乗(1,2,4,8,16,…)を掛けて合わせた数が51の倍数 = 51の倍数」

例えば、
40239は4×4–02×2+39×1=51が51の倍数 → 40239=51の倍数


<52の倍数>
「下2桁が4の倍数かつ一の位から順に3桁ずつに分けて符号を交互に並べて計算した数が13の倍数(4の倍数かつ13の倍数) = 52の倍数」 または
「一の位から順に2桁ずつに分けて符号を交互に並べ、小さい位から順に4のべき乗(1,4,16,64,…)を掛けて合わせた数が52の倍数 = 52の倍数」
「一の位から順に5桁ずつに分けて各数字に小さい位から4のべき乗(1,4,16,64,…)を掛けて足した数が52の倍数 = 52の倍数」


例えば、
214344は下2桁の44が4の倍数かつ214-344=(–)130で13の倍数 → 214344=52の倍数
214344は21×16–43×4+44×1=208が52の倍数 → 214344=52の倍数
214344は2×4+14344×1=14352が52の倍数 → 214344=52の倍数


<53の倍数>
「一の位から順に2桁ずつに分けて符号を交互に並べ、小さい位から順に6のべき乗(1,6,36,216,…)を掛けて合わせた数が53の倍数 = 53の倍数」

例えば、
12508は1×36–25×6+08×1=106が53の倍数 → 12508=53の倍数


<54の倍数>
「一の位が2の倍数かつ一の位から順に3桁ずつに分けて足した数が27の倍数(2の倍数かつ27の倍数) = 54の倍数」 または
「一の位から順に4桁ずつに分けて各数字に小さい位から10のべき乗(1,10,100,…)を掛けて足した数が54の倍数 = 54の倍数」 または
「一の位から順に2桁ずつに分けて符号を交互に並べ、小さい位から順に8のべき乗(1,8,64,…)を掛けて合わせた数が54の倍数 = 54の倍数」


例えば、
1173204は一の位の4が2の倍数かつ1+173+204=378が27の倍数 → 1173204=54の倍数
1173204は117×10+3204×1=4374が54の倍数 → 1173204=54の倍数
1173204は1×512–17×64+32×8–04×1=(–)324が54の倍数 → 1173204=54の倍数


<55の倍数>
「一の位が0か5かつ全ての位の数字に符号を交互に並べて計算した数が11の倍数(5の倍数かつ11の倍数) = 55の倍数」 または
「一の位が0か5かつ一の位から順に2桁ずつに分けて足した数が11の倍数(5の倍数かつ11の倍数) = 55の倍数」 または
「一の位が0か5かつ一の位から順に3桁ずつに分けて符号を交互に並べて計算した数が11の倍数(5の倍数かつ11の倍数) = 55の倍数」 または
「一の位から順に2桁ずつに分けて符号を交互に並べ、小さい位から順に10のべき乗(1,10,100,…)を掛けて合わせた数が55の倍数 = 55の倍数」


例えば、
1443420は一の位が0かつ1–4+4–3+4–2+0=0が11の倍数 → 1443420=55の倍数
1443420は一の位が0かつ1+44+34+20=99が11の倍数 → 1443420=55の倍数
1443420は一の位が0かつ1–443+420=(–)22が11の倍数 → 1443420=55の倍数
1443420は1×1000–44×100+34×10–20×1=(–)3080が55の倍数 → 1443420=55の倍数


<56の倍数>
「下3桁が8の倍数かつ一の位から順に3桁ずつに分けて符号を交互に並べて計算した数が7の倍数(8の倍数かつ7の倍数) = 56の倍数」 または
「下3桁が8の倍数かつ一の位から順に6桁ずつに分けて足した数が7の倍数(8の倍数かつ7の倍数) = 56の倍数」 または
「一の位から順に3桁ずつに分けて符号を交互に並べ、小さい位から順に8のべき乗(1,8,64,…)を掛けて合わせた数が56の倍数 = 56の倍数」 または
「一の位から順に5桁ずつに分けて各数字に小さい位から40のべき乗(1,40,1600,…)を掛けて足した数が56の倍数 = 56の倍数」


例えば、
1003016は下3桁の016が8の倍数かつ1–003+016=14で7の倍数 → 1003016=56の倍数
1003016は下3桁の016が8の倍数かつ1+003016=3017で7の倍数 → 1003016=56の倍数
1003016は1×64–003×8+016×1=56が56の倍数 → 1003016=56の倍数
1003016は10×40+03016×1=3416が56の倍数 → 1003016=56の倍数


<57の倍数>
「一の位から順に6桁ずつに分けて符号を交互に並べ、小さい位から順に8のべき乗(1,8,64,…)を掛けて合わせた数が57の倍数 = 57の倍数」 または
「全ての位の数字を足した数が3の倍数かつ各桁の数字に大きい位から順に2のべき乗(1,2,4,8,16,…)を掛けて足した数が19の倍数(3の倍数かつ19の倍数) = 57の倍数」


例えば、
1008330は1×8–008330×1=(–)8322が57の倍数 → 1008330=57の倍数
1008330は1+0+0+8+3+3+0=15で3の倍数かつ1×1+0×2+0×4+8×8+3×16+3×32+0×64=209が19の倍数 → 3705=57の倍数


<58の倍数>
「一の位から順に5桁ずつに分けて各数字に小さい位から8のべき乗(1,8,64,512,…)を掛けて足した数が58の倍数 = 58の倍数」 または
「一の位から順に5桁ずつに分けて符号を交互に並べ、小さい位から順に50のべき乗(1,50,2500,…)を掛けて合わせた数が58の倍数 = 58の倍数」 または
「一の位が2の倍数かつ一の位から順に3桁ずつに分けて符号を交互に並べ、大きい位から順に2のべき乗(1,2,4,8,16,…)を掛けて合わせた数が29の倍数(2の倍数かつ29の倍数) = 58の倍数」 または
「一の位が2の倍数かつ各桁の数字に大きい位から順に3のべき乗(1,3,9,27,…)を掛けて足した数が29の倍数(2の倍数かつ29の倍数) = 58の倍数」


例えば、
6455110は 64×8+55110×1=55622が58の倍数 → 6455110=58の倍数
6455110は 64×50–55110×1=(–)51910が58の倍数 → 6455110=58の倍数
6455110は一の位の0が2の倍数かつ6×1–455×2+110×4=(–)464が29の倍数 → 6455110=58の倍数
6455110は一の位の0が2の倍数かつ6×1+4×3+5×9+5×27+1×81+1×243+0×729=522が29の倍数 → 6455110=58の倍数


<59の倍数>
「一の位から順に3桁ずつに分けて符号を交互に並べ、各数字に小さい位から3のべき乗(1,3,9,27,…)を掛けて計算した数が59の倍数 = 59の倍数」 または
「一の位から順に4桁ずつに分けて各数字に大きい位から2のべき乗(1,2,4,8,16,…)を掛けて足した数が59の倍数 = 59の倍数」


例えば、
50268は50×3–268×1=(–)118が59の倍数 → 50268=59の倍数
50268は5×1–0268×2=(–)531が59の倍数 → 50268=59の倍数


<60の倍数>
「全ての位の数字を足した数が3の倍数かつ下2桁が20の倍数(3の倍数かつ20の倍数) = 60の倍数」 または
「一の位から順に2桁ずつに分けて符号を交互に並べ、小さい位から順に20のべき乗(1,20,400,8000,…)を掛けて合わせた数が60の倍数 = 60の倍数」


例えば、
4612140は4+6+1+2+1+4+0=18で3の倍数かつ下2桁の40が20の倍数 → 4612140=60の倍数
4612140は4×8000–61×400+21×20–40×1=7980が60の倍数 → 4612140=60の倍数


倍数の見分け方練習6



問111

積分できない関数と体積
<コメント>底はeです。体積や立体の問題がなかったような気がするので、作ってみました。1/logxは高校数学では積分できない関数ですね。もちろん高校までの知識だけで解けます。

問111

答えが分かったら、下のコメント欄から解答↓↓↓
<正解者> NaOH、coldia、しょー、M.R、shah-san (敬称略)

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問題のまとめと難易度

問110

ベクトルと軌跡
<コメント>ベクトルの問題が少ないので、しっかりベクトルが出てくる問題を作りました。

<追加コメント>tは定数で、Aは平面上のある点です。また点Pの軌跡が正円になった場合、楕円ではないので今回は答えには含めません(この補足がなかったので、正円を楕円に含めてしまっても問題ありません)。

問110

<問題の意味の補足>問題が分かりにくいと思いますので、具体例も交えて補足します。
問題の意味としては、もしtが決まれば点Aの場所が決まり、点Aに対する点Pの位置関係がpの式として出ます。このpの式が楕円以外の図形を示してしまうtは除外され(以下の具体例1参照)、そもそもpの式が成り立たない場合のtも除外されます(以下の具体例2参照)。点Aに対する点Pの位置関係が楕円を示すtの範囲を求めるという問題です。

[以下具体例]
例1) 例えばt=√2(Aは原点と一致、ベクトルa=0)のとき、pの式は計算すると|p|^2=√2/2となります。よって点Pは正円の軌跡を描くので、楕円の軌跡ではないことになります(ただし正円は楕円に含まれるとして、答えに加えても問題ありません)。よってt=√2は、答えの範囲から除外されることが分かります。
例2) 例えばt=-√2(Aは原点と一致、ベクトルa=0)のとき、pの式は計算すると|p|^2=-√2/2となり、式が成り立ちません。よってt=-√2は、答えの範囲から除外されることが分かります。


答えが分かったら、下のコメント欄から解答↓↓↓
<正解者> つー、coldia、shah-san (敬称略)

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問題のまとめと難易度

問109

円の周りを転がる円の周りを転がる円
<コメント>結構いい問題ができた気がします。難関大学の問題に出てきそうですね。

問109-1
問109-2

答えが分かったら、下のコメント欄から解答↓↓↓
<正解者> つー、NaOH、しょー、coldia (敬称略)

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問題のまとめと難易度

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mm2445

Author:mm2445
アメリカ在住。日本人。
自作問題を作ることが趣味。
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