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倍数の見分け方まとめ 21~30の倍数

おまたせしました!大きい数字が何の倍数か見つける方法の第3回目です。今回はさらに応用編の21から30まで掲載します。ここまで来るともうトリビアを通り越していますね♪これ以上方法が見つからないぐらい複数の方法を絞り出しました。少なくとも40の倍数まではまとめたいので、もう少しがんばらせてください!

なぜこの方法で見つけられるのか証明や簡単な説明を知りたい方は、一言コメントをいただければよろこんでお答えします☆

文章の最後に応用問題もありますよ♪

<他の数字の見分け方はこちら>
2の倍数〜10の倍数の見分け方へ ⇒2~10の倍数
11の倍数〜20の倍数の見分け方へ ⇒11~20の倍数
31の倍数〜40の倍数の見分け方へ ⇒31~40の倍数
41の倍数〜50の倍数の見分け方へ ⇒41~50の倍数
51の倍数〜60の倍数の見分け方へ ⇒51~60の倍数
61の倍数〜70の倍数の見分け方へ ⇒61~70の倍数
71の倍数〜80の倍数の見分け方へ ⇒71~80の倍数
81の倍数〜90の倍数の見分け方へ ⇒81~90の倍数
91の倍数〜100の倍数の見分け方へ ⇒91~100の倍数


<21の倍数>
「一の位から順に3桁ずつに分けて符号を交互に並べて計算した数が7の倍数かつ全ての位の数字を足した数が3の倍数(7の倍数かつ3の倍数) = 21の倍数」 または
「全ての位の数字に符号を交互に並べ、大きい位から順に2のべき乗(1,2,4,8,16…)を掛けて合わせた数が21の倍数 = 21の倍数」


例えば、
97148079は97–148+079=28が7の倍数かつ9+7+1+4+8+0+7+9=45で3の倍数 → 97148079=21の倍数
93030は9×1–3×2+0×4–3×8+0×16=(–)21が21の倍数 → 93030=21の倍数


<22の倍数>
「一の位が2の倍数かつ全ての位の数字に符号を交互に並べて計算した数が11の倍数(2の倍数かつ11の倍数) = 22の倍数」 または
「一の位が2の倍数かつ一の位から順に2桁ずつに分けて足した数が11の倍数(2の倍数かつ11の倍数) = 22の倍数」 または
「一の位から順に2桁ずつに分けて符号を交互に並べ、小さい位から順に10のべき乗(1,10,100,1000…)を掛けて合わせた数が22の倍数 = 22の倍数」


例えば、
109472は一の位の2が2の倍数かつ1–0+9–4+7–2=11で11の倍数 → 109472=22の倍数
109472は一の位の2が2の倍数かつ10+94+72=176で11の倍数 → 109472=22の倍数
109472は10×100–94×10+72×1=132で22の倍数 → 109472=22の倍数


<23の倍数>
「一の位から順に3桁ずつに分けて符号を交互に並べ、各数字に大きい位から2のべき乗(1,2,4,8,16…)を掛けて計算した数が23の倍数 = 23の倍数」 または
「一の位から順に2桁ずつに分けて各数字に大きい位から3のべき乗(1,3,9,27…)を掛けて足した数が23の倍数 = 23の倍数」


例えば、
1134015は1×1–134×2+015×4=(–)207が23の倍数 → 1134015=23の倍数
1134015は1×1+13×3+40×9+15×27=805が23の倍数 → 1134015=23の倍数


<24の倍数>
「下3桁が8の倍数かつ全ての位の数字を足した数が3の倍数(8の倍数かつ3の倍数) = 24の倍数」

例えば、
31863144は下3桁の144が8の倍数かつ3+1+8+6+3+1+4+4=30で3の倍数 → 31863144=24の倍数


<25の倍数>
「下2桁が25の倍数 = 25の倍数」

例えば、
48956104175は下2桁の75が25の倍数 → 48956104175=25の倍数


<26の倍数>
「一の位が2の倍数かつ一の位から順に3桁ずつに分けて符号を交互に並べて計算した数が13の倍数(2の倍数かつ13の倍数) = 26の倍数」 または
「一の位が2の倍数かつ一の位から順に6桁ずつに分けて足した数が13の倍数(2の倍数かつ13の倍数) = 26の倍数」 または
「一の位から順に4桁ずつに分けて符号を交互に並べ、小さい位から順に10のべき乗(1,10,100,1000…)を掛けて合わせた数が26の倍数 = 26の倍数」


例えば、
6076018は一の位の8が2の倍数かつ6–076+018=(–)52で13の倍数 → 1164020=26の倍数
207005838は一の位の8が2の倍数かつ207+005838=6045で13の倍数 → 207005838=26の倍数
603161052は6×100–0316×10+1052×1=(–)1508で26の倍数 → 603161052=26の倍数


<27の倍数>
「一の位から順に3桁ずつに分けて足した数が27の倍数 = 27の倍数」

例えば、
1338201は1+338+201=540が27の倍数 → 1338201=27の倍数


<28の倍数>
「下2桁が4の倍数かつ一の位から順に3桁ずつに分けて符号を交互に並べて計算した数が7の倍数(4の倍数かつ7の倍数) = 28の倍数」 または
「下2桁が4の倍数かつ一の位から順に6桁ずつに分けて足した数が7の倍数(4の倍数かつ7の倍数) = 28の倍数」 または
「一の位から順に3桁ずつに分けて、小さい位から順に20のべき乗(1,20,400…)を掛けて合わせた数が28の倍数 = 28の倍数」


例えば、
1088360は下2桁の60が4の倍数かつ1–088+360=273で7の倍数 → 1088360=28の倍数
2216011644は下2桁の44が4の倍数かつ2216+011644=13860で7の倍数 → 2216011644=28の倍数
1046696は1×400+046×20+696×1=2016で28の倍数 → 1046696=28の倍数


<29の倍数>
「一の位から順に3桁ずつに分けて符号を交互に並べ、大きい位から順に2のべき乗(1,2,4,8,16…)を掛けて合わせた数が29の倍数 = 29の倍数」 または
「各桁の数字に大きい位から順に3のべき乗(1,3,9,27,…)を掛けて足した数が29の倍数 = 29の倍数」


例えば、
5971448は5×1–971×2+448×4=(–)145が29の倍数 → 9137037=29の倍数
13601は1×1+3×3+6×9+0×27+1×81=145が29の倍数 → 13601=29の倍数


<30の倍数>
「一の位が0かつ全ての位の数字を足した数が3の倍数(10の倍数かつ3の倍数) = 30の倍数」

例えば、
8421270は一の位が0かつ8+4+2+1+2+7+0=24で3の倍数 → 8421270=30の倍数


倍数の見分け方練習3

これまでの問題の一覧↓
問題のまとめと難易度



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本サイトへの質問

いつも本サイトを活用させていただいており、誠に助けていただいております。
今回の質問は23の倍数の判定法についてです。
(3のべき乗を用いる方です。)

色々と試してみたのですが僕のやり方では
どうも22桁までの証明しか出来ません。
そのためどういった理由で確実な判定法であると言えるのかお教え下さいますでしょうか。
できれば新中1レベルが理解できるような方法で回答いただけると嬉しいです。

匿名希望さん

問い合わせありがとうございました☆以下のような説明でよろしいでしょうか?

例として5桁の数ABCDEについて証明します。6桁以上の場合も同じ方法なので、5桁で説明します。ただし2桁増えるごとに最初に掛ける数を3倍していくので、23桁なら3の11乗を掛けます。47桁だと3の23乗を掛けますが、3の23乗は23の倍数ではないため問題ないです。

ABCDEを9倍する(23の倍数かどうかには影響しないため)。
ABCDE×9=A×10000×9+BC×100×9+DE×9
=A×(299+1)×(299+1)+BC×(299+1)×3+DE×9
=A×299×299+A×2×299+A+BC×299×3+BC×3+DE×9
=(A×13×299+A×2×13+BC×13×3)×23+A+BC×3+DE×9。
(A×13×299+A×2×13+BC×13×3)×23は23の倍数なので、A+BC×3+DE×9が23の倍数ならABCDE×9もABCDEも23の倍数。

もし不明な点などありましたら、お気軽に連絡ください♪

ご返答へのへの感謝

よく理解できました。
つまり7桁の数ABCDEFGの場合は、
A×1000000+BC×10000+DE×100+FG×1なのでそれぞれに27をかければ良いのですね♪
同時に299=13×23なので13nの判定法としても利用できますね!
わざわざ早い時間での対応、ありがとうございました。

匿名希望さん

何かありましたら、またいつでもご連絡ください!

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mm2445

Author:mm2445
アメリカ在住。日本人。
自作問題を作ることが趣味。
記事もいろんなところで書いています。

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